Barsbilim Barsbilim
9-класс классe classe · Сабак конспектисиКонспект урокаFiche de cours

Фалестин теоремасы жана окшош үч бурчтуктарТеорема Фалеса и подобные треугольникиLe théorème de Thalès et les triangles semblables

Аталыштагы айырмаО различии в названияхUne différence de nom d’un pays à l’autre
  • Кыргызстанда жана Россияда «Фалестин теоремасы» деп БИРДЕЙ кесиндилер жөнүндөгү теорема аталат: бурчтун капталдарын кескен параллель түз сызыктар бир капталда бирдей кесиндилерди кесип алса, экинчи капталда да бирдей кесиндилерди кесип алат.В Кыргызстане и России «теоремой Фалеса» называют теорему о РАВНЫХ отрезках: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.Au Kirghizistan et en Russie, « théorème de Thalès » désigne le cas des segments ÉGAUX : des parallèles qui découpent des segments égaux sur un côté de l’angle en découpent d’égaux sur l’autre.
  • Сингапурдук жана Кембридж окуу китептеринде бул теореманын өзгөчө аты жок: ал «окшош үч бурчтуктар» темасында берилет.В сингапурских и кембриджских учебниках у этой теоремы нет собственного имени: она изложена в теме «подобные треугольники».Dans les manuels singapouriens et Cambridge, ce théorème n’a pas de nom propre : il est traité dans le chapitre « triangles semblables ».
  • Бул бөлүмдө эки форма тең берилет: адегенде бирдей кесиндилер, андан кийин пропорционалдуу кесиндилер.В этой главе даны обе формы: сначала равные отрезки, затем пропорциональные.Ce chapitre énonce les deux formes : d’abord les segments égaux, puis les segments proportionnels.

I.Кесиндилердин катышы жана пропорцияОтношение отрезков и пропорцияRapport de deux segments et proportion

АныктамаОпределениеDéfinition — Катыш жана пропорцияОтношение и пропорцияRapport et proportion

Эки кесиндинин катышы — узундуктарынын тийиндиси (бир эле бирдикте). Пропорция — эки катыштын барабардыгы: a/b = c/d.Отношение двух отрезков — частное их длин (в одной и той же единице). Пропорция — равенство двух отношений: a/b = c/d.Le rapport de deux segments est le quotient de leurs longueurs (dans la même unité). Une proportion est l’égalité de deux rapports : a/b = c/d.

КасиетСвойствоPropriété — Кайчылаш көбөйтүүПерекрёстное умножениеProduit en croix

a/b = c/d болсо, анда:Если a/b = c/d, то:Si a/b = c/d, alors :

a · d = b · c

A M B 4 6 10 cm A M B 8 12 20 cm AM : AB = 2 : 5 AM : AB = 2 : 5
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : AB = 24 см, AM = 9 см. AM/AB жана AM/MB катыштарын жөнөкөйлөткүлө.AB = 24 см, AM = 9 см. Упростите отношения AM/AB и AM/MB.AB = 24 cm et AM = 9 cm. Simplifiez les rapports AM/AB et AM/MB.

MB = 24 − 9 = 15 см.MB = 24 − 9 = 15 см.MB = 24 − 9 = 15 cm.

AM/AB = 9/24 = 3/8.AM/AB = 9/24 = 3/8.AM/AB = 9/24 = 3/8.

AM/MB = 9/15 = 3/5.AM/MB = 9/15 = 3/5.AM/MB = 9/15 = 3/5.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : x/12 = 5/4 барабардыгынан x ти тапкыла.Найдите x из равенства x/12 = 5/4.Trouvez x dans l’égalité x/12 = 5/4.

4 × x = 12 × 54 × x = 12 × 54 × x = 12 × 5

4x = 604x = 604x = 60

x = 15x = 15x = 15

II.Фалестин теоремасы: параллель түз сызыктар жана кесиндилерТеорема Фалеса: параллельные прямые и отрезкиLe théorème de Thalès : parallèles et segments découpés

ТеоремаТеоремаThéorème

Бурчтун капталдарын кескен параллель түз сызыктар бир капталда бирдей кесиндилерди кесип алса, экинчи капталда да бирдей кесиндилерди кесип алат. Жалпыланган түрүндө: алар эки капталда тең пропорционалдуу кесиндилерди кесип алат.Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. В обобщённой форме: они отсекают на обеих сторонах пропорциональные отрезки.Si des parallèles coupant les côtés d’un angle y découpent des segments égaux sur un côté, elles en découpent d’égaux sur l’autre. Forme générale : elles découpent sur les deux côtés des segments proportionnels.

ABC үч бурчтугунда M ∈ [AB], N ∈ [AC] жана (MN) ∥ (BC) болгондо.В треугольнике ABC, где M ∈ [AB], N ∈ [AC] и (MN) ∥ (BC).Dans le triangle ABC, avec M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC).

AM/AB = AN/AC = MN/BC

A B C M N (MN) ∥ (BC)
A M N B C AM / AB = AN / AC
A B C M N Үч бурчтуктүрүКонфигурациятреугольникаConfigurationtriangle КөпөлөктүрүКонфигурация«бабочка»Configurationpapillon
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : ABC үч бурчтугунда M ∈ [AB], N ∈ [AC] жана (MN) ∥ (BC). AM = 4 см, AB = 10 см, AN = 6 см. AC ны эсептегиле.В треугольнике ABC: M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) ∥ (BC). AM = 4 см, AB = 10 см, AN = 6 см. Вычислите AC.Dans le triangle ABC : M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC). AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm. Calculez AC.

AM/AB = AN/ACAM/AB = AN/ACAM/AB = AN/AC

4/10 = 6/AC4/10 = 6/AC4/10 = 6/AC

4 × AC = 10 × 6 = 604 × AC = 10 × 6 = 604 × AC = 10 × 6 = 60

AC = 15 см.AC = 15 см.AC = 15 cm.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Ошол эле фигурада AB = 10 см, AM = 4 см, BC = 12,5 см. MN ди эсептегиле.В той же фигуре AB = 10 см, AM = 4 см, BC = 12,5 см. Вычислите MN.Dans la même figure, AB = 10 cm, AM = 4 cm, BC = 12,5 cm. Calculez MN.

AM/AB = MN/BCAM/AB = MN/BCAM/AB = MN/BC

4/10 = MN/12,54/10 = MN/12,54/10 = MN/12,5

MN = 12,5 × 0,4 = 5 см.MN = 12,5 × 0,4 = 5 см.MN = 12,5 × 0,4 = 5 cm.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : AM = 3 см, MB = 5 см, AN = 4,5 см жана (MN) ∥ (BC). NC ны эсептегиле.AM = 3 см, MB = 5 см, AN = 4,5 см и (MN) ∥ (BC). Вычислите NC.AM = 3 cm, MB = 5 cm, AN = 4,5 cm et (MN) ∥ (BC). Calculez NC.

AB = 3 + 5 = 8 см.AB = 3 + 5 = 8 см.AB = 3 + 5 = 8 cm.

AM/AB = AN/AC, демек 3/8 = 4,5/AC.AM/AB = AN/AC, значит 3/8 = 4,5/AC.AM/AB = AN/AC, donc 3/8 = 4,5/AC.

AC = 8 × 4,5 ÷ 3 = 12 см.AC = 8 × 4,5 ÷ 3 = 12 см.AC = 8 × 4,5 ÷ 3 = 12 cm.

NC = AC − AN = 12 − 4,5 = 7,5 см.NC = AC − AN = 12 − 4,5 = 7,5 см.NC = AC − AN = 12 − 4,5 = 7,5 cm.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Эки түз сызык O чекитинде кесилишет. A жана C бир сызыкта, B жана D экинчи сызыкта жатат, (AB) ∥ (CD). OA = 6 см, OC = 9 см, OB = 8 см. OD ны эсептегиле.Две прямые пересекаются в точке O. Точки A и C лежат на одной прямой, B и D — на другой, (AB) ∥ (CD). OA = 6 см, OC = 9 см, OB = 8 см. Вычислите OD.Deux droites se coupent en O. A et C sont sur l’une, B et D sur l’autre, et (AB) ∥ (CD). OA = 6 cm, OC = 9 cm, OB = 8 cm. Calculez OD.

OA/OC = OB/ODOA/OC = OB/ODOA/OC = OB/OD

6/9 = 8/OD6/9 = 8/OD6/9 = 8/OD

6 × OD = 72, демек OD = 12 см.6 × OD = 72, значит OD = 12 см.6 × OD = 72, donc OD = 12 cm.

МашыгууТренажёрEntraîneur

Фалес: AC ны тапФалес: найди ACThalès : trouve AC

смсмcm

III.Окшош үч бурчтуктарПодобные треугольникиLes triangles semblables

ТеоремаТеоремаThéorème

Эгерде бир үч бурчтуктун эки бурчу экинчи үч бурчтуктун эки бурчуна барабар болсо, анда бул үч бурчтуктар окшош болот. Алардын дал келүүчү капталдарынын катышы окшоштук коэффициенти k деп аталат.Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Отношение соответственных сторон называется коэффициентом подобия k.Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre, alors ces triangles sont semblables. Le rapport des côtés correspondants s’appelle le rapport de similitude k.

Периметрлер k эсе, аянттар k² эсе өзгөрөт.Периметры изменяются в k раз, площади — в k² раз.Les périmètres sont multipliés par k, les aires par k².

P′/P = k S′/S = k²

A B D C O (AB) ∥ (CD)
A M N B C × k × 1/k P′ = k × P · S′ = k² × S
A M N A B C AM / AB = AN / AC = MN / BC ФалестинтүрүКонфигурацияФалесаConfigurationde Thalès Окшошүч бурчтуктарПодобныетреугольникиTrianglessemblables
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Биринчи үч бурчтуктун капталдары 6 см, 8 см, 10 см; экинчисиники 9 см, 12 см, 15 см. Алар окшошпу? Окшоштук коэффициентин тапкыла.Стороны первого треугольника 6 см, 8 см, 10 см; второго — 9 см, 12 см, 15 см. Подобны ли они? Найдите коэффициент подобия.Un premier triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm, 10 cm ; un second 9 cm, 12 cm, 15 cm. Sont-ils semblables ? Trouvez le rapport de similitude.

9/6 = 1,5 ; 12/8 = 1,5 ; 15/10 = 1,5.9/6 = 1,5 ; 12/8 = 1,5 ; 15/10 = 1,5.9/6 = 1,5 ; 12/8 = 1,5 ; 15/10 = 1,5.

Үч катыш тең бирдей, демек үч бурчтуктар окшош.Все три отношения равны, значит треугольники подобны.Les trois rapports sont égaux : les triangles sont semblables.

k = 1,5.k = 1,5.k = 1,5.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Мурунку мисалдагы үч бурчтуктардын периметрлеринин жана аянттарынын катыштарын тапкыла.Найдите отношение периметров и отношение площадей треугольников из предыдущего примера.Trouvez le rapport des périmètres et celui des aires des triangles de l’exemple précédent.

P = 6 + 8 + 10 = 24 см ; P′ = 9 + 12 + 15 = 36 см.P = 6 + 8 + 10 = 24 см ; P′ = 9 + 12 + 15 = 36 см.P = 6 + 8 + 10 = 24 cm ; P′ = 9 + 12 + 15 = 36 cm.

P′/P = 36/24 = 1,5 = k.P′/P = 36/24 = 1,5 = k.P′/P = 36/24 = 1,5 = k.

Эки үч бурчтук тең тик бурчтуу (6² + 8² = 10²).Оба треугольника прямоугольные (6² + 8² = 10²).Les deux triangles sont rectangles (6² + 8² = 10²).

S = 24 см² ; S′ = 54 см².S = 24 см² ; S′ = 54 см².S = 24 cm² ; S′ = 54 cm².

S′/S = 54/24 = 2,25 = 1,5² = k².S′/S = 54/24 = 2,25 = 1,5² = k².S′/S = 54/24 = 2,25 = 1,5² = k².

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : ABC жана A′B′C′ үч бурчтуктары окшош, k = 2,5. AB = 14 см, B′C′ = 45 см. A′B′ жана BC ны тапкыла.Треугольники ABC и A′B′C′ подобны, k = 2,5. AB = 14 см, B′C′ = 45 см. Найдите A′B′ и BC.Les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables, k = 2,5. AB = 14 cm et B′C′ = 45 cm. Trouvez A′B′ et BC.

A′B′ = 14 × 2,5 = 35 см.A′B′ = 14 × 2,5 = 35 см.A′B′ = 14 × 2,5 = 35 cm.

BC = 45 ÷ 2,5 = 18 см.BC = 45 ÷ 2,5 = 18 см.BC = 45 ÷ 2,5 = 18 cm.

МашыгууТренажёрEntraîneur

Окшоштук: капталды тапПодобие: найди сторонуSimilitude : trouve le côté

смсмcm

IV.Тескери теорема жана күнүмдүк маселелерОбратная теорема и практические задачиLa réciproque et les problèmes concrets

ТеоремаТеоремаThéorème

Эгерде ABC үч бурчтугунда M ∈ [AB], N ∈ [AC] жана AM/AB = AN/AC болсо, анда (MN) ∥ (BC) болот.Если в треугольнике ABC точки M ∈ [AB] и N ∈ [AC] таковы, что AM/AB = AN/AC, то (MN) ∥ (BC).Si, dans le triangle ABC, les points M ∈ [AB] et N ∈ [AC] vérifient AM/AB = AN/AC, alors (MN) ∥ (BC).

Чекиттер дал келүүчү тартипте болушу шарт.Точки обязательно должны быть расположены в соответственном порядке.Les points doivent impérativement être placés dans le même ordre.

AM/AB = AN/AC ⟹ (MN) ∥ (BC)

1,5 0,9 h 7,2
Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : ABC үч бурчтугунда AM = 6 см, AB = 15 см, AN = 8 см, AC = 20 см. (MN) менен (BC) параллелби?В треугольнике ABC: AM = 6 см, AB = 15 см, AN = 8 см, AC = 20 см. Параллельны ли (MN) и (BC)?Dans le triangle ABC : AM = 6 cm, AB = 15 cm, AN = 8 cm, AC = 20 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

AM/AB = 6/15 = 2/5.AM/AB = 6/15 = 2/5.AM/AB = 6/15 = 2/5.

AN/AC = 8/20 = 2/5.AN/AC = 8/20 = 2/5.AN/AC = 8/20 = 2/5.

Катыштар барабар жана чекиттер дал келүүчү тартипте, демек (MN) ∥ (BC).Отношения равны и точки расположены в соответственном порядке, значит (MN) ∥ (BC).Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : donc (MN) ∥ (BC).

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : Айгүл дарыянын кеңдигин билгиси келет. Каршы жээкте A ташы турат; ал өз жээгинде так A нын каршысында B чекитин белгилейт, ошондо (AB) жээкке перпендикуляр болот. Жээк боюнча 24 м жүрүп C ге, дагы 8 м жүрүп D га келет. D дан жээкке перпендикуляр багытта, A жана C менен бир түз сызыкта жаткан E чекитин табат: DE = 6 м. Дарыянын кеңдиги канча?Айгуль хочет узнать ширину реки. На том берегу лежит камень A; на своём берегу она отмечает точку B точно напротив него, так что (AB) перпендикулярна берегу. Пройдя вдоль берега 24 м, она приходит в C, ещё 8 м — в D. От D перпендикулярно берегу она находит точку E, лежащую на одной прямой с A и C: DE = 6 м. Какова ширина реки?Aïgoul veut connaître la largeur de la rivière. Un rocher A est sur l’autre rive ; sur la sienne, elle place B exactement en face, de sorte que (AB) soit perpendiculaire à la berge. Elle longe la berge de 24 m jusqu’à C, puis de 8 m jusqu’à D. Depuis D, perpendiculairement à la berge, elle repère le point E aligné avec A et C : DE = 6 m. Quelle est la largeur de la rivière ?

Эки окшош тик бурчтуу үч бурчтук пайда болот, окшоштук коэффициенти CB/CD = 24/8 = 3.Получаются два подобных прямоугольных треугольника с коэффициентом подобия CB/CD = 24/8 = 3.On obtient deux triangles rectangles semblables, de rapport CB/CD = 24/8 = 3.

AB = 6 × 3 = 18.AB = 6 × 3 = 18.AB = 6 × 3 = 18.

Дарыянын кеңдиги 18 м.Ширина реки равна 18 м.La rivière mesure 18 m de large.

Иштелген мисалРазобранный примерExemple rédigé : 1 : 25 000 масштабындагы картада эки айылдын ортосу 14 см. Чыныгы аралык канча километр?На карте масштаба 1 : 25 000 расстояние между двумя сёлами равно 14 см. Каково действительное расстояние в километрах?Sur une carte au 1 : 25 000, deux villages sont distants de 14 cm. Quelle est la distance réelle, en kilomètres ?

14 × 25 000 = 350 000 см.14 × 25 000 = 350 000 см.14 × 25 000 = 350 000 cm.

350 000 см = 3 500 м = 3,5 км.350 000 см = 3 500 м = 3,5 км.350 000 cm = 3 500 m = 3,5 km.

МашыгууТренажёрEntraîneur

Көлөкө менен өлчөИзмерь по тениMesure par l’ombre

ммm

Көнүгүүлөр банкыБанк упражненийBanque d’exercices
  1. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseУзундукту эсептөө (үч бурчтук түрү)Вычислить длину (конфигурация треугольника)Calculer une longueur (configuration triangle)бөлүмразделsection 9.2

    M — [AB] кесиндисинин чекити, N — [AC] кесиндисинин чекити. (MN) жана (BC) түз сызыктары параллель. AM = 2 см, AB = 5 см жана AN = 3 см. AC ны эсептегиле.M — точка отрезка [AB], N — точка отрезка [AC]. Прямые (MN) и (BC) параллельны. Дано AM = 2 см, AB = 5 см и AN = 3 см. Вычислите AC.M est un point du segment [AB] et N un point du segment [AC]. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 2 cm, AB = 5 cm et AN = 3 cm. Calculer AC.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. (MN) ∥ (BC) болгондуктан, Фалестин теоремасы берет: AM/AB = AN/AC.Так как (MN) ∥ (BC), теорема Фалеса даёт: AM/AB = AN/AC.Comme (MN) ∥ (BC), le théorème de Thalès donne : AM/AB = AN/AC.
    2. 2/5 = 3/AC, демек AC = 3 × 5 ÷ 2 = 7,5 см.2/5 = 3/AC, откуда AC = 3 × 5 ÷ 2 = 7,5 см.2/5 = 3/AC, d’où AC = 3 × 5 ÷ 2 = 7,5 cm.
  2. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseИчки кесиндини эсептөөВычислить внутренний отрезокCalculer le segment intérieurбөлүмразделsection 9.2

    Ошол эле түрдө (MN) ∥ (BC). AM = 4, AB = 6 жана BC = 9. MN ди эсептегиле.В той же конфигурации (MN) ∥ (BC). Дано AM = 4, AB = 6 и BC = 9. Вычислите MN.Dans la même configuration avec (MN) ∥ (BC), on donne AM = 4, AB = 6 et BC = 9. Calculer MN.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Фалес: MN/BC = AM/AB = 4/6 = 2/3.Фалес: MN/BC = AM/AB = 4/6 = 2/3.Thalès : MN/BC = AM/AB = 4/6 = 2/3.
    2. MN = 9 × 2/3 = 6.MN = 9 × 2/3 = 6.MN = 9 × 2/3 = 6.
  3. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseОкшош үч бурчтуктарды таанууРаспознать подобные треугольникиReconnaître des triangles semblablesбөлүмразделsection 9.3

    Эки үч бурчтуктун бурчтары тиешелүүлүгүнө жараша 40°, 60°, 80° жана 40°, 60°, 80°. Алар окшошпу? Негиздегиле.Углы двух треугольников соответственно равны 40°, 60°, 80° и 40°, 60°, 80°. Подобны ли они? Обоснуйте.Deux triangles ont respectivement pour angles 40°, 60°, 80° et 40°, 60°, 80°. Sont-ils semblables ? Justifier.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Эки үч бурчтуктун бурчтары экиден экиге барабар болсо, алар окшош болот.Два треугольника подобны, когда их углы попарно равны.Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont leurs angles deux à deux égaux.
    2. Бул жерде үч бурч тең бирдей: демек үч бурчтуктар окшош.Здесь все три угла одинаковы: значит треугольники подобны.Ici les trois angles sont identiques : les triangles sont donc semblables.
  4. Негизги деңгээлБазовый уровеньNiveau de baseЧоңойтуу коэффициентиКоэффициент увеличенияRapport d’agrandissementбөлүмразделsection 9.3

    DEF үч бурчтугу ABC үч бурчтугунун чоңойтулушу. AB = 4 жана ага дал келүүчү каптал DE = 6. Чоңойтуу коэффициенти k ны аныктагыла.Треугольник DEF — увеличение треугольника ABC. Дано AB = 4 и соответственная сторона DE = 6. Определите коэффициент увеличения k.Le triangle DEF est un agrandissement du triangle ABC. On donne AB = 4 et son côté correspondant DE = 6. Déterminer le rapport d’agrandissement k.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Коэффициент — сүрөттүн капталынын ага дал келүүчү капталга катышы: k = DE/AB = 6/4.Коэффициент — это частное стороны образа на соответственную сторону: k = DE/AB = 6/4.Le rapport est le quotient d’un côté de l’image par le côté correspondant : k = DE/AB = 6/4.
    2. Демек k = 1,5.Значит k = 1,5.Donc k = 1,5.
  5. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireПараллель узундукту эсептөөВычислить параллельную длинуCalculer la longueur parallèleбөлүмразделsection 9.2

    M ∈ [AB], N ∈ [AC] жана (MN) ∥ (BC). AM = 3 см, AB = 9 см жана BC = 12 см. MN ди эсептегиле.M ∈ [AB], N ∈ [AC] и (MN) ∥ (BC). Дано AM = 3 см, AB = 9 см и BC = 12 см. Вычислите MN.M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm et BC = 12 cm. Calculer MN.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Фалестин теоремасы үч барабар катышты берет: AM/AB = AN/AC = MN/BC.Теорема Фалеса даёт три равных отношения: AM/AB = AN/AC = MN/BC.Le théorème de Thalès donne les trois rapports égaux : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
    2. AM/AB = MN/BC ди колдонобуз: 3/9 = MN/12, демек MN = 3 × 12 ÷ 9 = 4 см.Используем AM/AB = MN/BC: 3/9 = MN/12, откуда MN = 3 × 12 ÷ 9 = 4 см.On utilise AM/AB = MN/BC : 3/9 = MN/12, d’où MN = 3 × 12 ÷ 9 = 4 cm.
  6. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireБөлүкчө кесиндилер мененДлина через подотрезкиLongueur avec sous-segmentsбөлүмразделsection 9.2

    (MN) ∥ (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. AM = 2, MB = 3 жана AN = 3. AC ны, андан кийин NC ны эсептегиле.(MN) ∥ (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. Дано AM = 2, MB = 3 и AN = 3. Вычислите AC, затем NC.(MN) ∥ (BC) avec M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. On donne AM = 2, MB = 3 et AN = 3. Calculer AC puis NC.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. AB = AM + MB = 2 + 3 = 5.AB = AM + MB = 2 + 3 = 5.AB = AM + MB = 2 + 3 = 5.
    2. Фалес: AN/AC = AM/AB = 2/5.Фалес: AN/AC = AM/AB = 2/5.Thalès : AN/AC = AM/AB = 2/5.
    3. AC = 3 × 5 ÷ 2 = 7,5, демек NC = AC − AN = 7,5 − 3 = 4,5.AC = 3 × 5 ÷ 2 = 7,5, значит NC = AC − AN = 7,5 − 3 = 4,5.AC = 3 × 5 ÷ 2 = 7,5, donc NC = AC − AN = 7,5 − 3 = 4,5.
  7. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireТуура катышты тандооВыбрать правильное отношениеChoisir le bon rapportбөлүмразделsection 9.2

    (MN) ∥ (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. AB = 8, AM = 6 жана BC = 10. MN ди эсептегиле.(MN) ∥ (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. Дано AB = 8, AM = 6 и BC = 10. Вычислите MN.(MN) ∥ (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC]. On donne AB = 8, AM = 6 et BC = 10. Calculer MN.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Фалес: MN/BC = AM/AB = 6/8.Фалес: MN/BC = AM/AB = 6/8.Thalès : MN/BC = AM/AB = 6/8.
    2. MN = 10 × 6/8 = 7,5.MN = 10 × 6/8 = 7,5.MN = 10 × 6/8 = 7,5.
  8. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireКапталды эсептөөВычислить сторонуCalcul d’un côtéбөлүмразделsection 9.3

    ABC жана DEF үч бурчтуктары окшош, чокулары ушул тартипте дал келет. AB = 4, DE = 6 жана BC = 5. EF ти эсептегиле.Треугольники ABC и DEF подобны, вершины соответствуют в этом порядке. Дано AB = 4, DE = 6 и BC = 5. Вычислите EF.Les triangles ABC et DEF sont semblables, les sommets se correspondant dans cet ordre. On donne AB = 4, DE = 6 et BC = 5. Calculer EF.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Коэффициент k = DE/AB = 6/4 = 3/2.Коэффициент k = DE/AB = 6/4 = 3/2.Le rapport est k = DE/AB = 6/4 = 3/2.
    2. EF капталы BC га дал келет: EF = k × BC.Сторона EF соответствует BC: EF = k × BC.Le côté EF correspond à BC : EF = k × BC.
    3. EF = 3/2 × 5 = 7,5.EF = 3/2 × 5 = 7,5.EF = 3/2 × 5 = 7,5.
  9. Орто деңгээлСредний уровеньNiveau intermédiaireПропорционалдуулукту текшерүүПроверить пропорциональностьVérifier la proportionnalitéбөлүмразделsection 9.3

    Биринчи үч бурчтуктун капталдары 6, 8, 10. Экинчисиники 9, 12, 15. Бул үч бурчтуктар окшошпу?Стороны первого треугольника 6, 8, 10. Второго — 9, 12, 15. Подобны ли эти треугольники?Un premier triangle a pour côtés 6, 8, 10. Un second a pour côtés 9, 12, 15. Ces triangles sont-ils semblables ?

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Дал келүүчү капталдардын катыштарын салыштырабыз: 9/6 = 3/2, 12/8 = 3/2, 15/10 = 3/2.Сравниваем отношения соответственных сторон: 9/6 = 3/2, 12/8 = 3/2, 15/10 = 3/2.On compare les rapports des côtés correspondants : 9/6 = 3/2, 12/8 = 3/2, 15/10 = 3/2.
    2. Үч катыш тең 3/2 ге барабар: үч бурчтуктар окшош.Все три отношения равны 3/2: треугольники подобны.Les trois rapports sont égaux à 3/2 : les triangles sont semblables.
  10. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéКайчылаш түрү («көпөлөк»)Конфигурация «бабочка»Configuration « papillon »бөлүмразделsection 9.2

    (AB) жана (CD) түз сызыктары O да кесилишет, A менен B — O нун эки жагында, C менен D да ошондой. (AC) ∥ (BD) экени белгилүү. OA = 4 см, OB = 6 см жана OC = 5 см. OD ны эсептегиле.Прямые (AB) и (CD) пересекаются в O, причём A и B по разные стороны от O, так же C и D. Известно, что (AC) ∥ (BD). Дано OA = 4 см, OB = 6 см и OC = 5 см. Вычислите OD.Deux droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec A et B de part et d’autre de O, de même pour C et D. On sait que (AC) ∥ (BD). On donne OA = 4 cm, OB = 6 cm et OC = 5 cm. Calculer OD.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. A, O, B чекиттери бир сызыкта, C, O, D да, жана (AC) ∥ (BD): бул Фалестин «көпөлөк» түрү.Точки A, O, B лежат на одной прямой, как и C, O, D, и (AC) ∥ (BD): это конфигурация Фалеса, называемая «бабочкой».Les points A, O, B sont alignés, ainsi que C, O, D, et (AC) ∥ (BD) : c’est la configuration de Thalès dite « papillon ».
    2. Фалестин теоремасы берет: OA/OB = OC/OD, демек 4/6 = 5/OD.Теорема Фалеса даёт: OA/OB = OC/OD, то есть 4/6 = 5/OD.Le théorème de Thalès donne : OA/OB = OC/OD, soit 4/6 = 5/OD.
    3. OD = 5 × 6 ÷ 4 = 7,5 см.OD = 5 × 6 ÷ 4 = 7,5 см.OD = 5 × 6 ÷ 4 = 7,5 cm.
  11. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéКайчылаш түрү: эки узундукБабочка: две длиныPapillon : deux longueursбөлүмразделsection 9.2

    (AB) жана (DE) түз сызыктары M де кесилишет: A, M, D бир сызыкта, B, M, E бир сызыкта, жана (AB) ∥ (DE). MA = 3, MD = 6, MB = 4, AB = 5. ME жана DE ни эсептегиле.Прямые (AB) и (DE) пересекаются в M: A, M, D лежат на одной прямой, B, M, E — на другой, и (AB) ∥ (DE). Дано MA = 3, MD = 6, MB = 4, AB = 5. Вычислите ME и DE.Deux droites (AB) et (DE) se coupent en M, avec A, M, D alignés et B, M, E alignés, et (AB) ∥ (DE). On donne MA = 3, MD = 6, MB = 4, AB = 5. Calculer ME et DE.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Фалес (кайчылаш түрү): MA/MD = MB/ME = AB/DE, мында MA/MD = 3/6 = 1/2.Фалес (конфигурация «бабочка»): MA/MD = MB/ME = AB/DE, где MA/MD = 3/6 = 1/2.Thalès (configuration papillon) : MA/MD = MB/ME = AB/DE, avec MA/MD = 3/6 = 1/2.
    2. ME = 4 × 2 = 8 жана DE = 5 × 2 = 10.ME = 4 × 2 = 8 и DE = 5 × 2 = 10.ME = 4 × 2 = 8 et DE = 5 × 2 = 10.
  12. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéТескери теорема: сызыктар параллелби?Обратная теорема: параллельны ли прямые?Réciproque : les droites sont-elles parallèles ?бөлүмразделsection 9.4

    M — [AB] да, N — [AC] да, A дан баштап бирдей тартипте. AM = 3 см, AB = 9 см, AN = 4 см жана AC = 12 см. (MN) жана (BC) параллелби?M на [AB], N на [AC], в одном и том же порядке от A. Дано AM = 3 см, AB = 9 см, AN = 4 см и AC = 12 см. Параллельны ли (MN) и (BC)?M est sur [AB] et N sur [AC], dans le même ordre à partir de A. On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 4 cm et AC = 12 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. AM/AB жана AN/AC катыштарын өз-өзүнчө эсептейбиз.Вычисляем отдельно два отношения AM/AB и AN/AC.On calcule séparément les deux rapports AM/AB et AN/AC.
    2. AM/AB = 3/9 = 1/3 жана AN/AC = 4/12 = 1/3.AM/AB = 3/9 = 1/3 и AN/AC = 4/12 = 1/3.AM/AB = 3/9 = 1/3 et AN/AC = 4/12 = 1/3.
    3. Катыштар барабар жана чекиттер бирдей тартипте: тескери теорема боюнча (MN) ∥ (BC).Отношения равны и точки расположены в одном порядке: по обратной теореме Фалеса (MN) ∥ (BC).Les rapports sont égaux et les points sont placés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) ∥ (BC).
  13. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéТескери теорема: ондук сандар мененОбратная теорема: с десятичнымиRéciproque : avec des décimauxбөлүмразделsection 9.4

    A, M, B чекиттери бир сызыкта, A, N, C да. AM = 3, AB = 4,5, AN = 4, AC = 6. (MN) жана (BC) параллелби?Точки A, M, B лежат на одной прямой, как и A, N, C. Дано AM = 3, AB = 4,5, AN = 4, AC = 6. Параллельны ли (MN) и (BC)?Les points A, M, B sont alignés ainsi que A, N, C. On donne AM = 3, AB = 4,5, AN = 4, AC = 6. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. AM/AB = 3/4,5 = 2/3 жана AN/AC = 4/6 = 2/3.AM/AB = 3/4,5 = 2/3 и AN/AC = 4/6 = 2/3.AM/AB = 3/4,5 = 2/3 et AN/AC = 4/6 = 2/3.
    2. Катыштар барабар жана чекиттер бирдей тартипте: тескери теорема боюнча (MN) ∥ (BC).Отношения равны и точки в одном порядке: по обратной теореме Фалеса (MN) ∥ (BC).Les rapports sont égaux et les points placés dans le même ordre : d’après la réciproque de Thalès, (MN) ∥ (BC).
  14. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéТескери теорема: параллель эмесОбратная теорема: не параллельныRéciproque : droites non parallèlesбөлүмразделsection 9.4

    AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7 болгондо (мурунку көнүгүүдөгүдөй жайгашуу), (MN) жана (BC) параллелби?При AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7 (те же расположения, что и в предыдущем упражнении), параллельны ли (MN) и (BC)?Avec AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7 (mêmes alignements qu’à l’exercice précédent), les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. AM/AB = 2/5 = 0,4 жана AN/AC = 3/7 ≈ 0,43.AM/AB = 2/5 = 0,4 и AN/AC = 3/7 ≈ 0,43.AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 3/7 ≈ 0,43.
    2. Катыштар ар башка: (MN) менен (BC) параллель ЭМЕС.Отношения различны: (MN) и (BC) НЕ параллельны.Les rapports sont différents : (MN) et (BC) ne sont PAS parallèles.
  15. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéЭки капталды табууНайти две стороныRetrouver deux côtésбөлүмразделsection 9.3

    A′B′C′ үч бурчтугу капталдары AB = 3, BC = 4, CA = 5 болгон ABC үч бурчтугуна окшош. A′B′ = 9 экени белгилүү. B′C′ жана C′A′ ды эсептегиле.Треугольник A′B′C′ подобен треугольнику ABC со сторонами AB = 3, BC = 4, CA = 5. Известно, что A′B′ = 9. Вычислите B′C′ и C′A′.Le triangle A′B′C′ est semblable au triangle ABC de côtés AB = 3, BC = 4, CA = 5. On sait que A′B′ = 9. Calculer B′C′ et C′A′.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Коэффициент k = A′B′/AB = 9/3 = 3.Коэффициент k = A′B′/AB = 9/3 = 3.Le rapport vaut k = A′B′/AB = 9/3 = 3.
    2. B′C′ = 3 × BC = 3 × 4 = 12.B′C′ = 3 × BC = 3 × 4 = 12.B′C′ = 3 × BC = 3 × 4 = 12.
    3. C′A′ = 3 × CA = 3 × 5 = 15.C′A′ = 3 × CA = 3 × 5 = 15.C′A′ = 3 × CA = 3 × 5 = 15.
  16. Жогорку деңгээлПродвинутый уровеньNiveau avancéИчине жайгашкан үч бурчтуктарВложенные треугольникиTriangles emboîtésбөлүмразделsection 9.3

    ABC үч бурчтугунда [AB] дагы M чекити жана [AC] дагы N чекити (MN) ∥ (BC) шартын канааттандырат. AM = 4, AB = 10 жана BC = 15. AMN менен ABC үч бурчтуктары эмне үчүн окшош экенин түшүндүрүп, MN ди эсептегиле.В треугольнике ABC точка M на [AB] и точка N на [AC] удовлетворяют (MN) ∥ (BC). Дано AM = 4, AB = 10 и BC = 15. Объясните, почему треугольники AMN и ABC подобны, затем вычислите MN.Dans un triangle ABC, un point M de [AB] et un point N de [AC] vérifient (MN) ∥ (BC). On donne AM = 4, AB = 10 et BC = 15. Expliquer pourquoi les triangles AMN et ABC sont semblables, puis calculer MN.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. (MN) ∥ (BC) болгондуктан, AMN жана ABC бурчтары дал келүүчү, демек барабар; A бурчу жалпы.Так как (MN) ∥ (BC), углы AMN и ABC соответственные, значит равны; угол A общий.Comme (MN) ∥ (BC), les angles AMN et ABC sont correspondants donc égaux ; l’angle A est commun.
    2. Эки үч бурчтуктун бурчтары барабар: алар окшош.У двух треугольников углы равны: они подобны.Les deux triangles ont leurs angles égaux : ils sont semblables.
    3. Коэффициент k = AM/AB = 4/10 = 2/5, демек MN = 2/5 × 15 = 6.Коэффициент k = AM/AB = 4/10 = 2/5, значит MN = 2/5 × 15 = 6.Le rapport est k = AM/AB = 4/10 = 2/5, donc MN = 2/5 × 15 = 6.
  17. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertПараллель эмес экенин көрсөтүп, оңдооПоказать непараллельность и исправитьMontrer la non-parallélisme, puis corrigerбөлүмразделsection 9.4

    M ∈ [AB] жана N ∈ [AC], A дан баштап бирдей тартипте. AM = 4 см, AB = 10 см, AN = 6 см жана AC = 14 см. (MN) жана (BC) параллелби? Эгер жок болсо, AN дын кайсы мааниси аларды параллель кылат?M ∈ [AB] и N ∈ [AC], в одном порядке от A. Дано AM = 4 см, AB = 10 см, AN = 6 см и AC = 14 см. Параллельны ли (MN) и (BC)? Если нет, при каком значении AN они стали бы параллельными?M ∈ [AB] et N ∈ [AC], dans le même ordre à partir de A. On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm et AC = 14 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Sinon, quelle valeur de AN les rendrait parallèles ?

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Катыштарды салыштырабыз: AM/AB = 4/10 = 2/5 жана AN/AC = 6/14 = 3/7.Сравниваем отношения: AM/AB = 4/10 = 2/5 и AN/AC = 6/14 = 3/7.On compare les rapports : AM/AB = 4/10 = 2/5 et AN/AC = 6/14 = 3/7.
    2. 2/5 = 14/35 жана 3/7 = 15/35: катыштар ар башка, демек (MN) менен (BC) параллель эмес.2/5 = 14/35 и 3/7 = 15/35: отношения различны, значит (MN) и (BC) не параллельны.2/5 = 14/35 et 3/7 = 15/35 : les rapports sont différents, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
    3. Параллель болушу үчүн AN/AC = 2/5 болушу керек эле, демек AN = 2/5 × 14 = 5,6 см.Чтобы они были параллельны, нужно AN/AC = 2/5, то есть AN = 2/5 × 14 = 5,6 см.Pour qu’elles le soient, il faudrait AN/AC = 2/5, soit AN = 2/5 × 14 = 5,6 cm.
  18. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertДарактын бийиктигин өлчөөИзмерить высоту дереваMesurer la hauteur d’un arbreбөлүмразделsection 9.4

    Дарактын бийиктигин өлчөө үчүн жерге 1 м пикет тик сайылат. Ошол эле убакта пикет 1,5 м, ал эми дарак 12 м көлөкө таштайт. Күндүн нурлары параллель болгондуктан, дарактын бийиктигин эсептегиле.Чтобы измерить высоту дерева, вертикально вбивают колышек длиной 1 м. В тот же момент колышек отбрасывает тень 1,5 м, а дерево — тень 12 м. Так как лучи солнца параллельны, вычислите высоту дерева.Pour mesurer la hauteur d’un arbre, on plante verticalement un piquet de 1 m. Au même moment, le piquet projette une ombre de 1,5 m et l’arbre une ombre de 12 m. Les rayons du soleil étant parallèles, calculer la hauteur de l’arbre.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Пикет менен анын көлөкөсү, дарак менен анын көлөкөсү эки окшош тик бурчтуу үч бурчтук түзөт (нурлар параллель).Колышек с тенью и дерево с тенью образуют два подобных прямоугольных треугольника (лучи параллельны).Le piquet et son ombre, comme l’arbre et son ombre, forment deux triangles rectangles semblables (rayons du soleil parallèles).
    2. Фалес берет: дарактын бийиктиги / пикеттин бийиктиги = дарактын көлөкөсү / пикеттин көлөкөсү.Фалес даёт: высота дерева / высота колышка = тень дерева / тень колышка.Thalès donne : hauteur de l’arbre / hauteur du piquet = ombre de l’arbre / ombre du piquet.
    3. h/1 = 12/1,5, демек h = 12 ÷ 1,5 = 8 м.h/1 = 12/1,5, значит h = 12 ÷ 1,5 = 8 м.h/1 = 12/1,5, donc h = 12 ÷ 1,5 = 8 m.
  19. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertАянттардын катышыОтношение площадейRapport des airesбөлүмразделsection 9.3

    Эки үч бурчтук k = 3/2 катышында окшош. Кичинесинин аянты 12 см². Чоңунун аянтын эсептегиле.Два треугольника подобны с коэффициентом k = 3/2. Площадь меньшего равна 12 см². Вычислите площадь большего.Deux triangles sont semblables dans le rapport k = 3/2. L’aire du plus petit est 12 cm². Calculer l’aire du plus grand.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. k коэффициенти менен чоңойтууда аянттар k² ге көбөйөт: k² = (3/2)² = 9/4.При увеличении с коэффициентом k площади умножаются на k²: k² = (3/2)² = 9/4.Dans un agrandissement de rapport k, les aires sont multipliées par k² : k² = (3/2)² = 9/4.
    2. Чоң үч бурчтуктун аянты: 12 × 9/4 = 27 см².Площадь большего треугольника: 12 × 9/4 = 27 см².Aire du grand triangle : 12 × 9/4 = 27 cm².
  20. Эксперт деңгээлиЭкспертный уровеньNiveau expertЖетүүгө мүмкүн болбогон бийиктикНедоступная высотаHauteur inaccessibleбөлүмразделsection 9.4

    Мамынын h бийиктигин өлчөө үчүн байкоочу менен мамынын ортосуна жерге күзгү коюлат. Көзү жерден 1,6 м бийиктикте болгон байкоочу мамынын чокусун күзгүдөн көрөт. Күзгү анын бутунан 2 м, ал эми мамынын түбүнөн 7,5 м алыстыкта. Нурлар түзгөн эки тик бурчтуу үч бурчтук окшош. h ты эсептегиле.Чтобы измерить высоту h мачты, на землю между наблюдателем и мачтой кладут зеркало. Наблюдатель, глаза которого на высоте 1,6 м, видит в зеркале вершину мачты. Зеркало находится в 2 м от его ног и в 7,5 м от основания мачты. Два прямоугольных треугольника, образованных лучами, подобны. Вычислите h.Pour mesurer la hauteur h d’un mât, on place un miroir au sol entre l’observateur et le mât. L’observateur, dont les yeux sont à 1,6 m du sol, voit le sommet du mât dans le miroir. Le miroir est à 2 m de ses pieds et à 7,5 m du pied du mât. Les deux triangles rectangles formés par les rayons lumineux sont semblables. Calculer h.

    Чыгарууну көрсөтүүПоказать решениеVoir la solution
    1. Эки тик бурчтуу үч бурчтук окшош, демек капталдары пропорционалдуу: h/7,5 = 1,6/2.Два прямоугольных треугольника подобны, значит стороны пропорциональны: h/7,5 = 1,6/2.Les deux triangles rectangles sont semblables, donc les côtés sont proportionnels : h/7,5 = 1,6/2.
    2. h = 1,6 × 7,5 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 м.h = 1,6 × 7,5 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 м.h = 1,6 × 7,5 ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6 m.